Equações de primeira ordem com coeficientes constantes. (a) Substituindo y=e^r t, encontramos a equação auxiliar para a equação linear de primeira ordem a y^prime+b y=0, em que a e b são constantes com a neq 0. (b) Use o resultado do item (a) para encontrar a solução geral. Nos problemas 22-25, use o método descrito no Problema 21 para encontrar uma solução geral para a equação dada: 5 y^prime+4 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação linear de primeira ordem com coeficientes constantes
5y'+4y=0
Usamos aqui o método de substituição por uma exponencial, que transforma a EDO num polinômio chamado equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y=e^rt. Então
y'=r e^rt
Substituindo em 5y'+4y=0 obtemos
5l(r e^rtr)+4l(e^rtr)=0
Fatorando e^rt (que nunca é zero):
5r+4=0

Passo 3

Da equação característica 5r+4=0 segue
r=-45
Logo a solução geral da EDO é
y(t)=C e^rt=C e^-tfrac45t
onde C é uma constante arbitrária.

Resposta

y(t)=C e^-tfrac45t

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