Determine:
c) (5 pontos) Os intervalos onde f é crescente e onde f é decrescente.
Como f^prime(x)<0 em(12, 2), logo f é decrescente em [12, 2). Como f^prime(x)>0 em (-infty, 12) e (2,+infty), logo f é crescente em (-infty, 12] e (2,+infty).

Passo 1

O enunciado pede para determinar os intervalos onde f é crescente e onde f é decrescente, e já sabemos dos cálculos anteriores que
f'(x)>0em;(-infty,tfrac12);cup;(2,+infty),
f'(x)<0em;(tfrac12,2)
Para resolver usamos o teste da primeira derivada:
– Se f'(x)>0, então f é crescente naquele intervalo.
– Se f'(x)<0, então f é decrescente naquele intervalo.

Passo 2

Analisando cada trecho:
  1. Em (-infty,tfrac12), temos f'(x)>0, logo f é crescente.
  2. Em (tfrac12,2), temos f'(x)<0, logo f é decrescente.
  3. Em (2,+infty), temos f'(x)>0, logo f é novamente crescente.

Passo 3

Nos pontos críticos x=tfrac12 e x=2 a derivada se anula, mas a monotonicidade se estende até incluir tfrac12 no intervalo de crescimento à esquerda e incluir 2 no de decrescimento à esquerda. Por convenção, admitimos
– crescimento até e incluindo tfrac12,
– decrescimento até e incluindo tfrac12 no início, e se interrompe antes de 2,
– novo crescimento após 2.

Resposta

f é decrescente em l[tfrac12,2r).
f é crescente em l(-infty,tfrac12r] e em ,(2,+infty).

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