Ache uma solução geral para a equação auxiliar para determinada equação diferencial com raízes complexas: w^prime prime+4 w^prime+6 w=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea com coeficientes constantes
w'' + 4,w' + 6,w = 0,
obtendo a forma geral da solução quando as raízes da equação auxiliar são complexas. Vamos usar o procedimento clássico: montar a equação auxiliar, encontrar suas raízes e, como elas são complexas conjugadas, expressar a solução em termos de exponencial real vezes cosseno e seno.

Passo 2

Escrevemos a equação auxiliar associada trocando w por e^r x. Isso gera
r^2 + 4r + 6 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante dessa quadrática:
De<a = 4^2 - 4cdot1cdot6 = 16 - 24 = -8
Como De<a<0, as raízes são complexas conjugadas dadas por
r = -4 pm raiz-82 = -2 pm iraiz2

Passo 4

Para raízes r=-2 pm iraiz2 a solução geral da EDO é
w(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x)+C2sin(beta x)r)
com alpha=-2 e beta=raiz2. Portanto
w(x) = e^-2xl(C1cos(raiz2,x)+C2sin(raiz2,x)r),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

w(x) = e^-2xl(C1cos(raiz2,x)+C2sin(raiz2,x)r)

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