Ache uma solução geral para a equação auxiliar para determinada equação diferencial com raízes complexas:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea com coeficientes constantes
obtendo a forma geral da solução quando as raízes da equação auxiliar são complexas. Vamos usar o procedimento clássico: montar a equação auxiliar, encontrar suas raízes e, como elas são complexas conjugadas, expressar a solução em termos de exponencial real vezes cosseno e seno.
Passo 2
Escrevemos a equação auxiliar associada trocando
por
. Isso gera
Passo 3
Calculamos o discriminante dessa quadrática:
Como
, as raízes são complexas conjugadas dadas por
Passo 4
Para raízes
a solução geral da EDO é
com
e
. Portanto
onde
e
são constantes arbitrárias.