Esboce a região delimitada pelas curvas y=x^2-4 x e y=0 e calcule o volume do sólido obtido pela rotação desta região em torno do eixo y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região do plano limitada por
y = x^2 - 4x e y = 0.
O conteúdo aqui é volume por rotação e vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é bem direto quando a rotação é em torno do eixo vertical.

Passo 2

Primeiro identificamos onde a parábola corta o eixo y=0. Basta resolver
x^2-4x=0Longrightarrow x(x-4)=0
Logo as interseções são em x=0 e x=4.
Entre esses valores a parábola fica abaixo do eixo x, formando uma região em que y vai de x^2-4x (curva inferior) até 0 (reta superior).

Passo 3

No método das cascas cilíndricas tomamos uma faixinha vertical em x de espessura dx.
bul<=t O raio da casca é x.
bul<=t A altura da casca é a diferença entre o valor superior e o inferior de y, ou seja
a<ura = 0 - (x^2-4x) = 4x - x^2
Portanto o volume elementar é
dV = 2pi,(,raio,),(,a<ura,),dx = 2pi,x,(4x - x^2),dx

Passo 4

Agora montamos a integral de x=0 até x=4:
V = 2pi integral0^4 x,(4x - x^2),dx =2pi integral0^4 (4x^2-x^3),dx

Passo 5

Calculando a integral:
integral0^4 (4x^2-x^3),dx =l[tfrac43x^3-tfrac14x^4r]0^4 =l(tfrac43cdot64 - tfrac14cdot256r) =tfrac2563-64 =tfrac643
Assim
V = 2pi cdot tfrac643 = tfrac128pi3

Resposta

O volume do sólido gerado pela rotação é 128pi3.

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