Esboce a região delimitada pelas curvas
e
e calcule o volume do sólido obtido pela rotação desta região em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo
a região do plano limitada por
e
.
O conteúdo aqui é volume por rotação e vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é bem direto quando a rotação é em torno do eixo vertical.
O conteúdo aqui é volume por rotação e vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é bem direto quando a rotação é em torno do eixo vertical.
Passo 2
Primeiro identificamos onde a parábola corta o eixo
. Basta resolver
Logo as interseções são em
e
.
Entre esses valores a parábola fica abaixo do eixo , formando uma região em que
vai de
(curva inferior) até
(reta superior).
Entre esses valores a parábola fica abaixo do eixo
Passo 3
No método das cascas cilíndricas tomamos uma faixinha vertical em
de espessura
.
O raio da casca é
.
A altura da casca é a diferença entre o valor superior e o inferior de
, ou seja
Portanto o volume elementar é
Passo 4
Agora montamos a integral de
até
:
Passo 5
Calculando a integral:
Assim
Resposta
O volume do sólido gerado pela rotação é
.