Sejam
e
definidas e deriváveis para todo
, tais que
e
. Marque a única alternativa que é sempre verdadeira para todas as funções
e
que se encaixam nessas condições.
(A)
e
.
(B)
e
.
(C)
para todo
.
(D)
e
para todo
.
(E)
para todo
.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas funções,
e
, que são definidas e deriváveis para todo
. Sabemos que a derivada de
, ou seja,
, é sempre menor que zero, e a derivada de
,
, é sempre maior que zero. Nosso objetivo aqui é descobrir qual das alternativas apresentadas é sempre verdadeira para qualquer par de funções
e
que satisfaçam essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que
e
significam. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à função nesse ponto.
- Se
para todo , isso quer dizer que a função está sempre decrescendo. Ou seja, à medida que aumenta, o valor de diminui. - Se
para todo , isso significa que a função está sempre crescendo. Ou seja, à medida que aumenta, o valor de aumenta.
Passo 3
Vamos analisar a alternativa (A):
e
.
- Como
está sempre decrescendo, se aumentarmos de 0 para 1, o valor de deve diminuir. Portanto, é verdadeiro. - Da mesma forma, como
está sempre crescendo, ao aumentar de 0 para 1, o valor de deve aumentar. Portanto, também é verdadeiro.
Isso mostra que a alternativa (A) está correta com base nas informações dadas.
Passo 4
Vamos verificar rapidamente as outras alternativas para confirmar que nenhuma delas é sempre verdadeira:
- (B)
e : Não há garantia de como e se comparam em pontos específicos. - (C)
para todo : Não há relação direta que assegure isso. - (D)
e para todo : As funções podem cruzar o eixo ou estar acima/abaixo dependendo do ponto. - (E)
para todo : Tal como na (C), não há garantia dessa relação para todos os .
Resposta
A alternativa correta é a (A):
e
.