Sejam f e g definidas e deriváveis para todo x, tais que f^prime(x)<0 e g^prime(x)>0. Marque a única alternativa que é sempre verdadeira para todas as funções f e g que se encaixam nessas condições.
(A) f(1)<f(0) e g(1)>g(0).
(B) f(1)<g(1) e f(0)<g(0).
(C) f(x)<g(x) para todo x in R.
(D) f(x)<0 e g(x)>0 para todo x in R.
(E) f(x)>g(x) para todo x in R.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas funções, f e g , que são definidas e deriváveis para todo x . Sabemos que a derivada de f , ou seja, f'(x) , é sempre menor que zero, e a derivada de g , g'(x) , é sempre maior que zero. Nosso objetivo aqui é descobrir qual das alternativas apresentadas é sempre verdadeira para qualquer par de funções f e g que satisfaçam essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que f'(x) < 0 e g'(x) > 0 significam. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à função nesse ponto.
  • Se f'(x) < 0 para todo x , isso quer dizer que a função f está sempre decrescendo. Ou seja, à medida que x aumenta, o valor de f(x) diminui.
  • Se g'(x) > 0 para todo x , isso significa que a função g está sempre crescendo. Ou seja, à medida que x aumenta, o valor de g(x) aumenta.

Passo 3

Vamos analisar a alternativa (A): f(1) < f(0) e g(1) > g(0) .
  • Como f está sempre decrescendo, se aumentarmos x de 0 para 1, o valor de f(x) deve diminuir. Portanto, f(1) < f(0) é verdadeiro.
  • Da mesma forma, como g está sempre crescendo, ao aumentar x de 0 para 1, o valor de g(x) deve aumentar. Portanto, g(1) > g(0) também é verdadeiro.
Isso mostra que a alternativa (A) está correta com base nas informações dadas.

Passo 4

Vamos verificar rapidamente as outras alternativas para confirmar que nenhuma delas é sempre verdadeira:
  • (B) f(1) < g(1) e f(0) < g(0) : Não há garantia de como f e g se comparam em pontos específicos.
  • (C) f(x) < g(x) para todo x in R : Não há relação direta que assegure isso.
  • (D) f(x) < 0 e g(x) > 0 para todo x in R : As funções podem cruzar o eixo ou estar acima/abaixo dependendo do ponto.
  • (E) f(x) > g(x) para todo x in R : Tal como na (C), não há garantia dessa relação para todos os x .

Resposta

A alternativa correta é a (A): f(1) < f(0) e g(1) > g(0) .

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