Esboce a região delimitada pelas curvas y=raizx+2, y=x, e x=0 e calcule a sua área

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região do plano delimitada por
;y=raizx+2,;y=x e ;x=0.
O conteúdo envolvido é cálculo de área de regiões planas usando integração em x. Vamos precisar achar os pontos de interseção das curvas, entender qual é a curva superior em cada intervalo de x e depois integrar a diferença entre as funções.

Passo 2

Determinamos a interseção entre ;y=raizx+2 e ;y=x resolvendo
x = raizx+2 Longrightarrow x^2 = x+2 Longrightarrow x^2 - x - 2 = 0
As raízes são
x = 1pmraiz1+82 = 1pm32,
ou seja x=2 e x=-1. Como ainda temos a reta vertical x=0, a região fica entre x=0 e x=2.

Passo 3

Em cada xin[0,2], vale
raizx+2>= x,
então a área é
A = integralx=0^2 l[raizx+2 ;-; xr],dx

Passo 4

Calculamos separadamente:
integral raizx+2,dx = integral (x+2)^tfrac12,dx = 23(x+2)^tfrac32,
integral x,dx = x^22
Logo
A = [23(x+2)^tfrac32 ;-; x^22]0^2 = l(23cdot4^tfrac32-2^22r) - l(23cdot2^tfrac32-0r)
Como 4^3/2=8 e 2^3/2=2raiz2, temos
A = l(23cdot8 - 2r) - l(23cdot2raiz2r) = l(163-2r) - 4raiz23 = 103 - 4raiz23

Resposta

A = 10 - 4raiz23

Exercícios relacionados