Prove que se f é uma função periódica de periódo t, então:
b) f(a x) é periódica de periódo ta, para todo a in R-0.

Passo 1

O enunciado diz que é periódica de período , ou seja, para todo vale
Queremos mostrar que é periódica e encontrar um período tal que

Passo 2

Definição de periodicidade aplicada a g: dizemos que T é período de g se
g(x+T)=fl(a(x+T)r)=f(ax)
para todo x. Nosso objetivo é achar T em termos de t e a.

Passo 3

Escolhemos
T = ta
Então, para qualquer x,
gl(x + tfractar) = f!l(al(x + tfractar)r) = fl(ax + tr)
Como f tem período t, temos f(ax+t)=f(ax). Logo
gl(x + tfractar)=f(ax)=g(x),
o que mostra que tfracta é um período de g.

Passo 4

Concluímos que a função xmapsto f(a x) é periódica de período
T = ta

Resposta

ta é um período de f(a x).

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