Ache a solução geral da equação dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A questão pede para encontrar a solução geral da equação
. Estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem e vamos usar a técnica de separação de variáveis para resolver. Isso significa que vamos separar os termos que envolvem
dos que envolvem
para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
. Começamos dividindo ambos os lados por
:
Agora, temos todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é encontrar as antiderivadas de cada lado:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 4
Começando pelo lado esquerdo:
Agora, o lado direito:
Passo 5
Igualando as duas integrais e simplificando as constantes (
):
Vamos resolver para
:
onde
é uma nova constante.
Passo 6
Para isolar
, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Podemos simplificar a constante para
novamente:
Resposta
A solução geral da equação é
onde
é uma constante arbitrária.