Ache a solução geral da equação dada.
d yd t=e^3 t+2 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A questão pede para encontrar a solução geral da equação dydt = e^3t + 2y. Estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem e vamos usar a técnica de separação de variáveis para resolver. Isso significa que vamos separar os termos que envolvem y dos que envolvem t para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis y e t. Começamos dividindo ambos os lados por e^2y:
dydt = e^3t + 2y Rightarrow dye^2y = e^3t dt
Agora, temos todos os termos com y de um lado e os termos com t do outro.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é encontrar as antiderivadas de cada lado:
integral 1e^2y dy = integral e^3t dt
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 4

Começando pelo lado esquerdo:
integral 1e^2y dy = integral e^-2y dy = e^-2y-2 + C1 = -12 e^-2y + C1
Agora, o lado direito:
integral e^3t dt = e^3t3 + C2

Passo 5

Igualando as duas integrais e simplificando as constantes ( C = C2 - C1):
-12 e^-2y = e^3t3 + C
Vamos resolver para e^-2y:
e^-2y = -23 e^3t + C'
onde C' = -2C é uma nova constante.

Passo 6

Para isolar y, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
-2y = ln(-23 e^3t + C')
Multiplicando ambos os lados por -12:
y = -12 ln(-23 e^3t + C')
Podemos simplificar a constante para C novamente:
y = -12 ln(C - 23 e^3t)

Resposta

A solução geral da equação é
y(t) = -12 ln(C - 23 e^3t)
onde C é uma constante arbitrária.

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