Ache a solução geral da equação dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais, especificamente uma que envolve funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis y e t e depois integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Vamos dividir ambos os lados por $ e^{t} y $ para isolar
:
Podemos fatorar $ e^{-y} $ no numerador:
Simplificando mais um pouco:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis $ y $ e $ t $. Multiplicamos ambos os lados por $ y e^{y} $ e por $ dt $:
Isso nos deixa com as variáveis separadas, prontas para serem integradas.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados. Começando pelo lado esquerdo:
Para resolver essa integral, usamos integração por partes, onde escolhemos $ u = y $ e $ dv = e^{y} dy $. Assim, $ du = dy $ e $ v = e^{y} $.
Aplicando a fórmula de integração por partes $ \int u , dv = uv - \int v , du $:
Agora, o lado direito:
Passo 5
Igualando as integrais e juntando as constantes em uma só, temos:
Onde $ C $ é a constante de integração que representa todas as constantes acumuladas durante a integração.
Resposta
A solução geral da equação é dada por: