Ache a solução geral da equação dada.
e^t y d yd t=e^-y+e^-2 t-y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação:
e^t y dydt = e^-y + e^-2 t - y
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais, especificamente uma que envolve funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis y e t e depois integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Vamos dividir ambos os lados por $ e^{t} y $ para isolar e^t y :
dydt
Podemos fatorar $ e^{-y} $ no numerador:
dydt = e^-y + e^-2 t - ye^t y
Simplificando mais um pouco:
e^-y

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis $ y $ e $ t $. Multiplicamos ambos os lados por $ y e^{y} $ e por $ dt $:
y
Isso nos deixa com as variáveis separadas, prontas para serem integradas.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados. Começando pelo lado esquerdo:
integral y e^y dy
Para resolver essa integral, usamos integração por partes, onde escolhemos $ u = y $ e $ dv = e^{y} dy $. Assim, $ du = dy $ e $ v = e^{y} $.
Aplicando a fórmula de integração por partes $ \int u , dv = uv - \int v , du $:
u = y
Agora, o lado direito:
dv = e^y dy

Passo 5

Igualando as integrais e juntando as constantes em uma só, temos:
e^y(y - 1) = -e^-t - 13 e^-3 t + C
Onde $ C $ é a constante de integração que representa todas as constantes acumuladas durante a integração.

Resposta

A solução geral da equação é dada por:
e^y(y - 1) = -e^-t - 13 e^-3 t + C

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