Ache a solução geral da equação dada.
(e^t-e^-t) d yd t=y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
(e^t - e^-t) dydt = y^2
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária que envolve funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar dydt. Dividindo ambos os lados da equação por e^t - e^-t, temos:
dydt = y^2e^t - e^-t

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis y e t. Isso significa que vamos colocar todas as expressões com y de um lado e com t do outro:
dyy^2 = dte^t - e^-t

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados dessa igualdade. A integral do lado esquerdo é mais simples, mas precisamos manipular o denominador do lado direito para facilitar a integração:
integral dyy^2 = integral dte^t - e^-t

Passo 5

Começando pela integral da esquerda:
integral dyy^2 = -1y + C1
Agora, vamos focar na integral da direita. Podemos reescrever e^t - e^-t como 2sinh t, mas uma manipulação mais direta ajuda melhor:
e^t - e^-t = e^2t - 1e^t
Então:
1e^t - e^-t = e^te^2t - 1

Passo 6

Substituindo na integral da direita:
integral dte^t - e^-t = integral e^te^2t - 1 dt
Agora, fazemos uma substituição para facilitar. Seja u = e^t, então du = e^t dt ou dt = duu.

Passo 7

Substituindo na integral:
integral e^te^2t - 1 dt = integral uu^2 - 1 cdot duu = integral 1u^2 - 1 du
Essa integral é conhecida e resulta em uma função logarítmica.

Passo 8

Integrando:
integral 1u^2 - 1 du = 12 ln | u - 1u + 1 | + C2
Voltando à variável original t, onde u = e^t:
12 ln | e^t - 1e^t + 1 | + C2

Passo 9

Agora, juntando as integrais dos dois lados:
-1y + C1 = 12 ln | e^t - 1e^t + 1 | + C2
Podemos combinar as constantes C1 e C2 em uma única constante C.

Passo 10

Resolvendo para y:
-1y = 12 ln | e^t - 1e^t + 1 | + C
Multiplicando ambos os lados por -1:
1y = -12 ln | e^t - 1e^t + 1 | - C
Para simplificar, podemos reescrever a constante:
1y = -12 ln | e^t - 1e^t + 1 | + K
Onde K é uma nova constante.

Passo 11

Finalmente, isolando y:
y = 1K - 12 ln | e^t - 1e^t + 1 |

Resposta

A solução geral da equação é:
y(t) = 1, K - 12 ln |, e^t - 1e^t + 1 |,
Onde K é uma constante arbitrária.

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