Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária que envolve funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar . Dividindo ambos os lados da equação por , temos:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis e . Isso significa que vamos colocar todas as expressões com de um lado e com do outro:
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados dessa igualdade. A integral do lado esquerdo é mais simples, mas precisamos manipular o denominador do lado direito para facilitar a integração:
Passo 5
Começando pela integral da esquerda:
Agora, vamos focar na integral da direita. Podemos reescrever como , mas uma manipulação mais direta ajuda melhor:
Então:
Passo 6
Substituindo na integral da direita:
Agora, fazemos uma substituição para facilitar. Seja , então ou .
Passo 7
Substituindo na integral:
Essa integral é conhecida e resulta em uma função logarítmica.
Passo 8
Integrando:
Voltando à variável original t, onde u = e^t:
12 ln | e^t - 1e^t + 1 | + C2
Passo 9
Agora, juntando as integrais dos dois lados:
-1y + C1 = 12 ln | e^t - 1e^t + 1 | + C2
Podemos combinar as constantes C1 e C2 em uma única constante C.