Questão 7. Verifique que a EDO abaixo não é exata e encontre um fator integrante que a torne exata.
2 t y d yd t-2 y^2=3 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que está na forma 2 t y dydt - 2 y^2 = 3 t. A gente vai verificar se essa equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que a torne exata. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas e fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma mais familiar para identificar M(t, y) e N(t, y). Vamos trazer tudo para um lado da equação:
2 t y dydt - 2 y^2 - 3 t = 0
Isso pode ser reorganizado como:
-3 t , dt + (2 t y) , dy = 0
Aqui, temos:
M(t, y) = -3 t e N(t, y) = 2 t y

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais partial Mpartial y e partial Npartial t e ver se são iguais.
Calculando partial Mpartial y:
partial (-3 t)partial y = 0
Calculando partial Npartial t:
partial (2 t y)partial t = 2 y
Como 0 neq 2 y, a equação não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante mu(t) ou mu(y) que, quando multiplicarmos a equação original, a torne exata. Vamos tentar com um fator que depende apenas de t.
A fórmula para o fator integrante quando mu = mu(t) é:
mu(t) = e^integral partial Npartial t - partial Mpartial yM dt
Substituindo os valores que já temos:
mu(t) = e^integral 2 y - 0-3 t dt = e^integral -2 y3 t dt
Aqui, percebemos que y está presente, o que complica a integração. Então, vamos tentar um fator integrante que depende apenas de y.

Passo 5

Usamos a fórmula para o fator integrante quando mu = mu(y):
mu(y) = e^integral partial Mpartial y - partial Npartial tN dy
Substituindo os valores:
mu(y) = e^integral 0 - 2 y2 t y dy = e^integral -2 y2 t y dy = e^integral -1t dy
Mas mu depende de y, e ainda aparece t na expressão. Isso também não facilita. Então, vamos tentar um fator integrante do tipo mu(t) = t^k.

Passo 6

Assumindo mu(t) = t^k, vamos multiplicar a equação original por esse fator:
t^k (-3 t) , dt + t^k (2 t y) , dy = 0
Isso dá:
-3 t^k+1 , dt + 2 t^k+1 y , dy = 0
Agora, calculamos as novas derivadas parciais:
partial (-3 t^k+1)partial y = 0 e partial (2 t^k+1 y)partial t = 2 (k+1) t^k y
Para que a equação seja exata, essas derivadas devem ser iguais. Portanto:
0 = 2 (k+1) t^k y
Isso só é possível se k = -1.

Passo 7

Com k = -1, o fator integrante é mu(t) = t^-1. Multiplicando a equação original por t^-1:
-3 t^0 , dt + 2 t^0 y , dy = -3 , dt + 2 y , dy = 0
Agora, a equação se torna exata porque as derivadas parciais são iguais:
partial (-3)partial y = 0 e partial (2 y)partial t = 0

Resposta

O fator integrante que torna a equação exata é mu(t) = 1t.

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