Questão 7. Verifique que a EDO abaixo não é exata e encontre um fator integrante que a torne exata.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que está na forma
. A gente vai verificar se essa equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que a torne exata. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas e fatores integrantes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma mais familiar para identificar
e
. Vamos trazer tudo para um lado da equação:
Isso pode ser reorganizado como:
Aqui, temos:
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais
e
e ver se são iguais.
Calculando
:
Calculando
:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante
ou
que, quando multiplicarmos a equação original, a torne exata. Vamos tentar com um fator que depende apenas de
.
A fórmula para o fator integrante quando
é:
Substituindo os valores que já temos:
Aqui, percebemos que
está presente, o que complica a integração. Então, vamos tentar um fator integrante que depende apenas de
.
Passo 5
Usamos a fórmula para o fator integrante quando
:
Substituindo os valores:
Mas
depende de
, e ainda aparece
na expressão. Isso também não facilita. Então, vamos tentar um fator integrante do tipo
.
Passo 6
Assumindo
, vamos multiplicar a equação original por esse fator:
Isso dá:
Agora, calculamos as novas derivadas parciais:
Para que a equação seja exata, essas derivadas devem ser iguais. Portanto:
Isso só é possível se
.
Passo 7
Com
, o fator integrante é
. Multiplicando a equação original por
:
Agora, a equação se torna exata porque as derivadas parciais são iguais:
Resposta
O fator integrante que torna a equação exata é
.