Questão 1. Ache a solução geral da equação dada. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
t d yd t-y=t^2 sin (t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para achar a solução geral da equação t dydt - y = t^2 sin(t) e determinar o maior intervalo onde essa solução está definida. Para isso, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. Dividindo ambos os lados por t (lembrando que t neq 0 ):
dydt - yt = t sin(t)
Essa é uma equação diferencial linear da forma dydt + P(t)y = Q(t) , onde P(t) = -1t e Q(t) = t sin(t) .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante mu(t) , que nos ajuda a resolver a equação. O fator integrante é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral -1t dt = e^-ln|t| = 1t

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante mu(t) = 1t :
1t cdot dydt - yt^2 = sin(t)
Isso simplifica a equação para:
ddt( yt ) = sin(t)
Aqui, usamos a propriedade que multiplicar pela mu(t) transforma a equação em uma forma onde o lado esquerdo é a derivada de mu(t) y .

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a t :
integral ddt( yt ) dt = integral sin(t) dt
Isso resulta em:
yt = -cos(t) + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, resolvemos para y :
y = t ( -cos(t) + C ) = -t cos(t) + C t

Resposta

A solução geral da equação é y(t) = -t cos(t) + C t , e ela está definida para todo t real, exceto t = 0 .

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