Questão 1. Ache a solução geral da equação dada. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para achar a solução geral da equação
e determinar o maior intervalo onde essa solução está definida. Para isso, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. Dividindo ambos os lados por
(lembrando que
):
Essa é uma equação diferencial linear da forma
, onde
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que nos ajuda a resolver a equação. O fator integrante é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Isso simplifica a equação para:
Aqui, usamos a propriedade que multiplicar pela
transforma a equação em uma forma onde o lado esquerdo é a derivada de
.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação é
, e ela está definida para todo
real, exceto
.