Questão 7. Verifique que a EDO abaixo não é exata e encontre um fator integrante que a torne exata.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) que precisa verificar se é exata. Se não for, a gente vai encontrar um fator integrante que a torne exata. Básicamente, uma EDO exata é aquela que pode ser integrada diretamente, facilitando a solução. Vamos precisar lembrar como identificar se uma EDO é exata e como encontrar esse fator integrante quando ela não é.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para colocá-la na forma padrão de uma EDO exata. A equação dada é:
Podemos reorganizar para:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Agora, pra verificar se a equação é exata, a gente precisa ver se:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Primeiro, a derivada de M em relação a y:
Agora, a derivada de N em relação a t:
Passo 4
Comparando as duas derivadas:
Claro que não são iguais, a menos que
, o que não é uma condição geral. Então, nossa EDO não é exata.
Passo 5
Como a EDO não é exata, precisamos encontrar um fator integrante, que pode depender de t ou de y, que vai multiplicar toda a equação e torná-la exata.
Vamos tentar um fator integrante que depende apenas de t, ou seja,
.
Passo 6
Para um fator integrante que depende de t, a condição para que a equação seja exata após multiplicar por
é:
Vamos calcular o que está dentro da fração:
Então, a equação fica:
Isso implica que:
Passo 7
A equação diferencial
é uma equação diferencial simples cuja solução é:
Onde C é uma constante. Para simplificar, podemos escolher C = 1, então:
Passo 8
Agora, multiplicamos toda a equação original por esse fator integrante:
Com isso, a nova equação deve ser exata.
Passo 9
Vamos verificar se agora a equação é exata, calculando novamente as derivadas parciais.
Definimos:
Calculando as derivadas:
Agora,
, então a equação é exata após a multiplicação pelo fator integrante.
Resposta
Encontramos que o fator integrante que torna a EDO exata é
. Assim, multiplicando a equação original por
, a equação se torna exata e pode ser resolvida diretamente.