Questão 7. Verifique que a EDO abaixo não é exata e encontre um fator integrante que a torne exata.
(t+2 y) d yd t=-y t-y^2-y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) que precisa verificar se é exata. Se não for, a gente vai encontrar um fator integrante que a torne exata. Básicamente, uma EDO exata é aquela que pode ser integrada diretamente, facilitando a solução. Vamos precisar lembrar como identificar se uma EDO é exata e como encontrar esse fator integrante quando ela não é.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para colocá-la na forma padrão de uma EDO exata. A equação dada é:
(t + 2y) dydt = -yt - y^2 - y
Podemos reorganizar para:
(t + 2y) dy + (yt + y^2 + y) dt = 0
Aqui, identificamos:
M(t, y) = yt + y^2 + y
N(t, y) = t + 2y

Passo 3

Agora, pra verificar se a equação é exata, a gente precisa ver se:
partial Mpartial y = partial Npartial t
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Primeiro, a derivada de M em relação a y:
partial Mpartial y = t + 2y + 1
Agora, a derivada de N em relação a t:
partial Npartial t = 1

Passo 4

Comparando as duas derivadas:
t + 2y + 1 vs 1
Claro que não são iguais, a menos que t + 2y = 0, o que não é uma condição geral. Então, nossa EDO não é exata.

Passo 5

Como a EDO não é exata, precisamos encontrar um fator integrante, que pode depender de t ou de y, que vai multiplicar toda a equação e torná-la exata.
Vamos tentar um fator integrante que depende apenas de t, ou seja, mu(t).

Passo 6

Para um fator integrante que depende de t, a condição para que a equação seja exata após multiplicar por mu(t) é:
dmudt = mu(t) cdot partial Mpartial y - partial Npartial tN
Vamos calcular o que está dentro da fração:
partial Mpartial y - partial Npartial t = (t + 2y + 1) - 1 = t + 2y
Então, a equação fica:
dmudt = mu(t) cdot t + 2yt + 2y = mu(t) cdot 1 = mu(t)
Isso implica que:
dmudt = mu(t)

Passo 7

A equação diferencial dmudt = mu(t) é uma equação diferencial simples cuja solução é:
mu(t) = Ce^t
Onde C é uma constante. Para simplificar, podemos escolher C = 1, então:
mu(t) = e^t

Passo 8

Agora, multiplicamos toda a equação original por esse fator integrante:
e^t(t + 2y) dy + e^t(yt + y^2 + y) dt = 0
Com isso, a nova equação deve ser exata.

Passo 9

Vamos verificar se agora a equação é exata, calculando novamente as derivadas parciais.
Definimos:
M(t, y) = e^t(yt + y^2 + y)
N(t, y) = e^t(t + 2y)
Calculando as derivadas:
partial Mpartial y = e^t(t + 2y + 1)
partial Npartial t = e^t(1) + e^t(t + 2y) = e^t(t + 2y + 1)
Agora, partial Mpartial y = partial Npartial t, então a equação é exata após a multiplicação pelo fator integrante.

Resposta

Encontramos que o fator integrante que torna a EDO exata é mu(t) = e^t. Assim, multiplicando a equação original por e^t, a equação se torna exata e pode ser resolvida diretamente.

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