Ache a solução geral da equação dada. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
4 y^prime prime=-y

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente achar a solução geral da equação
;4,y'' = -y,
que é uma EDO linear de 2ª ordem, homogênea, com coeficientes constantes.
Para resolver isso, vamos precisar:
  • Colocar a equação na “forma padrão” y'' + a,y = 0.
  • Montar a equação característica e achar suas raízes.
  • Traduzir essas raízes numa combinação de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, joga tudo pra forma padrão dividindo por 4:
y'' = -14,y Longrightarrow y'' + 14,y = 0
Aqui a gente reconhece o modelo clássico y'' + omega^2,y=0 com omega^2=tfrac14.

Passo 3

Agora a equação característica é
r^2 + 14 = 0
Isso dá
r^2 = -14 Longrightarrow r = pm i2
Teoria rápida: quando as raízes são complexas conjugadas r=alphapm ibeta, a solução geral é
y(x)=e^alpha xl(C1cos(beta x)+C2sin(beta x)r)
No nosso caso alpha=0 e beta=tfrac12.

Passo 4

Aplicando isso, obtemos diretamente
y(x) = C1cos!l(tfracx2r) + C2sin!l(tfracx2r),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 5

Como os coeficientes da equação original são constantes (sempre contínuos) em todo R, não há “ponto problemático”: a solução existe e é única para qualquer xin(-infty,infty).

Resposta

A solução geral é
e o maior intervalo em que ela está definida é .

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