Ache a solução geral da equação dada. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente achar a solução geral da equação
,
que é uma EDO linear de 2ª ordem, homogênea, com coeficientes constantes.
Para resolver isso, vamos precisar:
que é uma EDO linear de 2ª ordem, homogênea, com coeficientes constantes.
Para resolver isso, vamos precisar:
- Colocar a equação na “forma padrão”
. - Montar a equação característica e achar suas raízes.
- Traduzir essas raízes numa combinação de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, joga tudo pra forma padrão dividindo por 4:
Aqui a gente reconhece o modelo clássico
com
.
Passo 3
Agora a equação característica é
Isso dá
Teoria rápida: quando as raízes são complexas conjugadas
, a solução geral é
No nosso caso
e
.
Passo 4
Aplicando isso, obtemos diretamente
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Como os coeficientes da equação original são constantes (sempre contínuos) em todo
, não há “ponto problemático”: a solução existe e é única para qualquer
.
Resposta
A solução geral é
e o maior intervalo em que ela está definida é
.