Determine as derivadas parciais de primeira ordern da função:
f(x, t)=e^sen(t / x)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,t)=e^senl(tfractxr)
O conteúdo que vamos usar é a regra da cadeia para derivadas parciais e a derivada do quociente tfractx em relação a cada variável.

Passo 2

Para calcular partial fpartial t, tratamos x como constante e aplicamos a regra da cadeia. Definimos
u(t)=senl(tfractxr),
então f=e^u e
partial fpartial t = e^u,dudt
Agora,
dudt =cosl(tfractxr)cdotddtl(tfractxr) =cosl(tfractxr)cdot1x
Logo,
partial fpartial t =e^sen(tfractx),cosl(tfractxr),1x

Passo 3

Para calcular partial fpartial x, tratamos t como constante e aplicamos novamente a regra da cadeia com u(x)=sen(t/x). Assim,
partial fpartial x = e^u,dudx
E
dudx =cosl(tfractxr)cdotddxl(tfractxr) =cosl(tfractxr)cdotl(-tx^2r)
Portanto,
partial fpartial x =e^sen(tfractx),l(-tx^2cosl(tfractxr)r) =-tx^2,e^sen(tfractx),cosl(tfractxr)

Resposta

partial fpartial t =e^sen(tfractx),cos(tfractx)x, partial fpartial x =-tx^2,e^sen(tfractx),cosl(tfractxr)

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