Ache a solução geral da equação dada. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
y^prime prime-36 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' - 36,y = 0
e o maior intervalo em que essa solução está definida. O conteúdo aqui é o de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o polinômio característico.

Passo 2

Associamos à equação diferencial o polinômio característico
r^2 - 36 = 0

Passo 3

Resolvendo r^2 - 36 = 0 obtemos
r^2 = 36 Longrightarrow r = pm 6
São duas raízes reais e distintas r1 = 6 e r2 = -6.

Passo 4

Quando as raízes do característico são reais e distintas, a solução geral é
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias. Substituindo r1 e r2, vem
y(x) = C1 e^6x + C2 e^-6x

Passo 5

Não há singularidades nem pontos onde a equação deixe de valer, então a solução existe e é única para todo xinR. O maior intervalo de definição é
(-infty,infty)

Resposta

y(x) = C1 e^6x + C2 e^-6x, x in (-infty,infty)

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