Ache a solução geral da equação dada. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
y^prime prime-y^prime=6 y

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y' = 6y
e o maior intervalo em que essa solução está definida. Vamos usar o método do polinômio característico para equações com coeficientes constantes.

Passo 2

Associamos à equação diferencial o polinômio característico
lambda^2 - lambda - 6 = 0
substituindo y''mapsto lambda^2, y'mapsto lambda e ymapsto 1.

Passo 3

Resolvendo o polinômio característico, temos
lambda = 1 pm raiz1 + 242 = 1 pm 52,
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lambda1 = 3, lambda2 = -2

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
y(x) = C1 e^3x + C2 e^-2x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 5

Os coeficientes da equação original são contínuos em todo R, portanto a solução está definida no maior intervalo
(-infty, infty)

Resposta

y(x) = C1 e^3x + C2 e^-2x, intervalo de definição: (-infty,infty) çã

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