Q13

Calcular a integral.
integral0^1 d yraiz3 y+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de 1raiz3y + 1 no intervalo de 0 a 1. Isso entra no conteúdo de Cálculo Integral, especificamente em integração por substituição. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos fazer uma substituição para tornar a integral mais fácil de calcular. Vamos chamar de u o que está dentro da raiz:
u = 3y + 1

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a relação entre du e dy . Para isso, derivamos u em relação a y :
dudy = 3 Rightarrow dy = du3

Passo 4

Substituímos u e dy na integral original. Também precisamos ajustar os limites de integração de acordo com a nova variável u . Quando y = 0 :
u = 3(0) + 1 = 1
E quando y = 1 :
u = 3(1) + 1 = 4
Assim, a integral fica:
integral0^1 dyraiz3y + 1 = integral1^4 1raizu cdot du3 = 13 integral1^4 u^-12 du

Passo 5

Agora, vamos integrar u^-12 . A integral de u^n em relação a u é u^n+1n+1 , desde que n neq -1 . Aqui, n = -12 :
integral u^-12 du = u^1212 = 2u^12 = 2raizu

Passo 6

Substituímos o resultado da integração na expressão anterior:
13 integral1^4 u^-12 du = 13 [ 2raizu ]1^4 = 23 ( raiz4 - raiz1 )

Passo 7

Calculamos as raízes:
raiz4 = 2 e raiz1 = 1
Substituindo:
23 (2 - 1) = 23 times 1 = 23

Resposta

O valor da integral é 23 .

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