Calcule

Passo 1

Estamos diante da integral definida
integral0^pi/2 raizcostheta,sintheta,dtheta,
que envolve uma função composta de costheta e sintheta. O conteúdo que vamos usar é a técnica de substituição (\emph{u-substitution}) para integrais definidas.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = costheta,
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du = -sentheta,dtheta Longrightarrow sentheta,dtheta = -,du
Quando theta=0, temos u=cos0=1. Quando theta=pi/2, temos u=cos(pi/2)=0.

Passo 3

Reescrevendo a integral em u, trocamos os limites de 0<=theta<=pi/2 para 1>= u>=0:
integral0^pi/2 raizcostheta,sentheta,dtheta = integralu=1^u=0 raizu,(-du) = integral0^1 u^tfrac12,du

Passo 4

Agora calculamos
integral0^1 u^tfrac12,du = [u^tfrac32tfrac32]0^1 = 1tfrac32 - 0 = 23

Resposta

23

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