Ache a solução geral da equação dada. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
y^prime prime+8 y^prime+16 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 8y' + 16y = 0
e o maior intervalo em que essa solução está definida. Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y=e^rt. Substituindo na equação, obtemos o polinômio característico
r^2 + 8r + 16 = 0

Passo 3

Resolvendo
r^2 + 8r + 16 = (r+4)^2 = 0
vemos que há uma raiz dupla r=-4.

Passo 4

Para raiz dupla em equações lineares, a solução geral é dada por
y(t) = l(C1 + C2,tr)e^-4t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 5

A função exponencial e^-4t e o polinômio t são avaliados para todo tinR, logo o maior intervalo de definição é
(-infty,infty)

Resposta

y(t) = l(C1 + C2,tr)e^-4t, tin(-infty,infty)

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