Q14

Calcular a integral.
integralpi / 4^3 pi / 4 sin (x) cos (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de sin(x) cos(x) no intervalo de pi/4 a 3pi/4. Isso está na área de cálculo integral, onde queremos encontrar a área sob a curva da função sin(x) cos(x) entre esses dois pontos. Para resolver isso, vamos usar uma identidade trigonométrica que simplifica a multiplicação de seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica que é super útil aqui: sin(2x) = 2 sin(x) cos(x). Isso significa que podemos reescrever sin(x) cos(x) como 12 sin(2x). Então, a integral fica mais fácil de resolver:
integralpi / 4^3 pi / 4 sin(x) cos(x) , dx = integralpi / 4^3 pi / 4 12 sin(2x) , dx

Passo 3

Agora, vamos integrar 12 sin(2x). A integral de sin(2x) em relação a x é -12 cos(2x). Então, multiplicando pela constante 12, temos:
12 integral sin(2x) , dx = 12 ( -12 cos(2x) ) = -14 cos(2x) + C
Onde C é a constante de integração, que não precisamos considerar em integrais definidas.

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de integração, de pi/4 a 3pi/4:
-14 cos(2x) |pi/4^3pi/4 = -14 [ cos(2 cdot 3pi4) - cos(2 cdot pi4) ]
Simplificando os argumentos:
2 cdot 3pi4 = 3pi2 e 2 cdot pi4 = pi2
Sabemos que cos(3pi2) = 0 e cos(pi2) = 0. Então:
-14 [ 0 - 0 ] = 0

Resposta

A integral integralpi / 4^3 pi / 4 sin(x) cos(x) , dx é igual a 0.

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