Questão 1. O tensor abaixo descreve o estado de tensão em um ponto de um sólido genérico. Com base nesse tensor, determine: (a) os invariantes de tensão; (b) as tensões principais; (c) a máxima tensão de cisalhamento e (d) as direções principais.
sigmai j=[ccc 2 & 1 & -4 1 & 4 & 0 -4 & 0 & 1 ]

Passo 1

O enunciado pede para, a partir do tensor de tensões sigmaij, calcular (a) seus invariantes I1,I2,I3; (b) as tensões principais (autovalores); (c) a máxima tensão de cisalhamento; e (d) as direções principais (autovetores). O conteúdo envolve operação com tensores simétricos, cálculo de determinantes e soluções de autovalores/vetores.

Passo 2

Para obter os invariantes usamos as fórmulas padrão:
I1=tr(sigma), I2=tfrac12l[(tr,sigma)^2-tr(sigma^2)r], I3=det(sigma)
Compute:
I1=2+4+1=7,
tr(sigma^2)=2^2+1^2+(-4)^2+1^2+4^2+0^2+(-4)^2+0^2+1^2=55
I2=tfrac12(7^2-55)=tfrac12(-6)=-3,
I3=det2&1&-41&4&0-4&0&1=-57

Passo 3

As tensões principais são as raízes do polinômio característico
ou seja
Resolvendo numericamente obtemos

Passo 4

A máxima tensão de cisalhamento corresponde a
taumax=sigmamax-sigmamin2 =5.843-(-2.600)2approx4.222

Passo 5

Para cada autovalor lambdai resolvemos
(sigma-lambdaiI) v=0. Os autovetores (não normalizados) encontram-se como:
v1propto(1.843,,1,,-1.522), v2propto(-0.243,,1,,0.353), v3propto(-6.600,,1,,-7.333)
Normalizando cada um, temos as direções principais unitárias:
u1approx(0.711,,0.386,,-0.587), u2approx(-0.223,,0.919,,0.324), u3approx(-0.666,,0.101,,-0.740)

Resposta

(a) I1=7,;I2=-3,;I3=-57 (b) Tensões principais: 5.843,;3.757,;-2.600 (c) Máxima cisalhamento: taumaxapprox4.222 (d) Direções principais (unitárias):
u1approx(0.711,0.386,-0.587),; u2approx(-0.223,0.919,0.324),; u3approx(-0.666,0.101,-0.740)

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