Ache a solução geral da equação dada. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo aqui é a técnica do polinômio característico: associamos à equação diferencial um polinômio em
e buscamos suas raízes.
Passo 2
Formamos o polinômio característico substituindo
. Isso gera
Para analisar as raízes, calculamos o discriminante
Passo 3
Como
, o polinômio tem uma raiz real dupla.
Resolvendo
Resolvendo
obtém-se
Passo 4
Quando a raiz
é dupla, a solução geral é dada por
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Como os coeficientes da equação são contínuos em todo
, a solução acima está definida no intervalo máximo
Resposta
A solução geral é
definida em todo o conjunto real
.