Ache a solução geral da equação dada. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
y^prime prime-10 y^prime+25 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 10,y' + 25,y = 0
O conteúdo aqui é a técnica do polinômio característico: associamos à equação diferencial um polinômio em r e buscamos suas raízes.

Passo 2

Formamos o polinômio característico substituindo ymapsto e^r x. Isso gera
r^2 - 10,r + 25 = 0
Para analisar as raízes, calculamos o discriminante
De<a = (-10)^2 - 4cdot1cdot25 = 100 - 100 = 0

Passo 3

Como De<a=0, o polinômio tem uma raiz real dupla.
Resolvendo
r^2 - 10,r + 25 = (r-5)^2 = 0
obtém-se
r = 5(dupla)

Passo 4

Quando a raiz r é dupla, a solução geral é dada por
y(x) = C1,e^5x + C2,x,e^5x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Como os coeficientes da equação são contínuos em todo R, a solução acima está definida no intervalo máximo
(-infty,infty)

Resposta

A solução geral é
y(x) = C1,e^5x + C2,x,e^5x,
definida em todo o conjunto real (-infty,infty).

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