Calcular a integral.
integral0^4(2 x+1)^-1 / 2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^4(2x+1)^-1/2,dx
O conteúdo principal é usar uma substituição do tipo u=2x+1 para transformar a integral em uma potência de u.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = 2x + 1, du = 2,dx Longrightarrow dx = du2
Quando x=0, u=2cdot0+1=1.
Quando x=4, u=2cdot4+1=9.
Logo a integral vira
integral0^4(2x+1)^-1/2,dx = integral1^9u^-1/2,du2 = 12integral1^9u^-1/2,du

Passo 3

Agora integramos a potência de u:
integral u^-1/2,du = integral u^tfrac-12,du = 2,u^tfrac12 + C
Multiplicando por tfrac12
12integral u^-1/2,du = 12cdot 2,u^1/2 = u^1/2

Passo 4

Avaliaremos de u=1 até u=9:
l[u^1/2r]1^9 = raiz9 - raiz1 = 3 - 1 = 2

Resposta

O valor da integral é 2.

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