Q15

Calcular a integral.
integral0^pi / 2 sin ^2(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^pi/2 sin^2(x),dx
O conteúdo envolve integrar potências de funções trigonométricas. Uma estratégia clássica é usar uma fórmula de redução de potência para transformar sin^2(x) em algo mais simples de integrar.

Passo 2

Aplicamos a identidade de redução de potência:
sin^2(x) = 1 - cos(2x)2
Substituindo isso na integral, temos
integral0^pi/2 sin^2(x),dx = integral0^pi/2 1 - cos(2x)2,dx

Passo 3

Separamos em dois termos e integramos cada um:
integral0^pi/2 12,dx ;-; integral0^pi/2 cos(2x)2,dx
A antiderivada de tfrac12 em relação a x é tfracx2.
A antiderivada de tfraccos(2x)2 é tfracsin(2x)4.
Logo uma primitiva comum é
F(x) = x2 - sin(2x)4

Passo 4

Avaliaremos F(x) de 0 a tfracpi2:
Fl(tfracpi2r) = pi/22 - sin(pi)4 = pi4 - 0 = pi4,
F(0) = 0 - 0 = 0
Portanto,
integral0^pi/2 sin^2(x),dx = Fl(tfracpi2r) - F(0) = pi4

Resposta

pi4

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