Ache a solução geral da equação dada. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
3 y^prime prime+27 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
3,y'' + 27,y = 0
Este é um caso de equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Para simplificar, dividimos toda a equação por 3, obtendo a forma padrão
y'' + 9,y = 0

Passo 3

Assumimos solução do tipo y=e^r x. Substituindo em y'' + 9y=0 dá a equação característica
r^2 + 9 = 0,
cujas raízes são
r = pm 3,i
Como são raízes puramente imaginárias, a solução geral vem da combinação de cosseno e seno:
y(x) = C1cos(3x) + C2sin(3x),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 4

Os coeficientes da equação são funções polinomiais contínuas em todo R. Logo a solução está definida para qualquer xin(-infty,infty), que é o maior intervalo de existência.

Resposta

A solução geral é
y(x)=C1cos(3x)+C2sin(3x),
e o maior intervalo de definição é (-infty,infty).

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