Ache a solução geral da equação dada. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
2 y^prime prime+2 y^prime+y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem e coeficientes constantes
2y''+2y'+y=0,
bem como o maior intervalo onde essa solução está definida. Vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Associamos à equação diferencial a equação característica
2r^2+2r+1=0
Resolvendo-a, calculamos o discriminante De<a=2^2-4cdot2cdot1=4-8=-4, logo as raízes são
r=-2pmraiz-42cdot2 =-2pm2,i4 =-tfrac12pmtfraci2

Passo 3

Para raízes complexas r=alphapm ibeta a solução geral é
y(x)=e^alpha xl(C1cos(beta x)+C2sin(beta x)r)
Aqui alpha=-tfrac12 e beta=tfrac12, logo
y(x) =e^-tfrac12 xl(C1cosl(tfrac12 xr)+C2sinl(tfrac12 xr)r)

Passo 4

As funções exponencial e trigonométricas são bem definidas e contínuas para todo xinR. Portanto, o maior intervalo onde a solução está definida é
(-infty,infty)

Resposta

A solução geral é
y(x) =e^-tfrac12 xl(C1cosl(tfrac12 xr)+C2sinl(tfrac12 xr)r),
e o maior intervalo de definição é (-infty,infty).

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