Q17

Calcular a integral.
integral1^2 x ln (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral1^2 x ln (x) , dx. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é excelente quando temos o produto de duas funções, como aqui com x e ln(x).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Precisamos escolher o que vai ser u e o que vai ser dv. Geralmente, escolhemos u como a função que fica mais simples ao derivar.

Passo 3

Aqui, vamos deixar:
u = ln(x) e dv = x , dx
Agora, vamos derivar u e integrar dv:
du = 1x , dx e v = integral x , dx = x^22

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x ln(x) , dx = u cdot v - integral v , du = ln(x) cdot x^22 - integral x^22 cdot 1x , dx
Simplificando a integral restante:
integral x^22 cdot 1x , dx = integral x2 , dx = 12 integral x , dx = 12 cdot x^22 = x^24

Passo 5

Substituindo de volta na expressão:
integral x ln(x) , dx = x^22 ln(x) - x^24 + C
Como a integral é definida de 1 a 2, vamos calcular os valores nos limites:
[ x^22 ln(x) - x^24 ]1^2

Passo 6

Calculando para x = 2:
2^22 ln(2) - 2^24 = 42 ln(2) - 44 = 2 ln(2) - 1
E para x = 1:
1^22 ln(1) - 1^24 = 12 cdot 0 - 14 = -14

Passo 7

Agora, subtraindo os valores:
(2 ln(2) - 1) - (-14) = 2 ln(2) - 1 + 14 = 2 ln(2) - 34

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
2 ln(2) - 34

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