Q18

Calcular a integral.
integral-3^-2(t-1t)^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de (t - 1t)^2 de -3 a -2. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com a integração de funções polinomiais e racionais. Para resolver, vamos precisar expandir a expressão dentro da integral, simplificar e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o quadrado da expressão (t - 1t)^2. Lembre-se que (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. Aplicando isso:
(t - 1t)^2 = t^2 - 2 cdot t cdot 1t + (1t)^2
Simplificando cada termo:
t^2 - 2 cdot 1 + 1t^2 = t^2 - 2 + 1t^2

Passo 3

Agora, substituímos essa expansão na integral original:
integral-3^-2 (t^2 - 2 + 1t^2) dt
Podemos separar a integral em três partes:
integral-3^-2 t^2 , dt - integral-3^-2 2 , dt + integral-3^-2 1t^2 , dt

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
  1. Integral de t^2 :
A antiderivada de t^2 é t^33 .
integral t^2 , dt = t^33
  1. Integral de 2 :
A antiderivada de uma constante 2 é 2t .
integral 2 , dt = 2t
  1. Integral de 1t^2 :
Reescrevendo 1t^2 como t^-2 , a antiderivada é -t^-1 , ou seja, -1t .
integral 1t^2 , dt = -1t

Passo 5

Agora, colocamos tudo junto e avaliamos de -3 a -2:
[ t^33 ]-3^-2 - [ 2t ]-3^-2 + [ -1t ]-3^-2
Vamos calcular cada parte:
  1. Para t^33 :
(-2)^33 - (-3)^33 = -83 - -273 = -8 + 273 = 193
  1. Para 2t :
2(-2) - 2(-3) = -4 - (-6) = -4 + 6 = 2
  1. Para -1t :
-1-2 - (-1-3) = 12 - 13 = 36 - 26 = 16

Passo 6

Agora, somamos todos os resultados:
193 - 2 + 16
Primeiro, convertemos tudo para frações com o mesmo denominador:
193 = 386, 2 = 126, 16 = 16
Então:
386 - 126 + 16 = 38 - 12 + 16 = 276
Simplificando:
276 = 92

Resposta

O valor da integral é 92.

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