Q18
Calcular a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de
de
a
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com a integração de funções polinomiais e racionais. Para resolver, vamos precisar expandir a expressão dentro da integral, simplificar e depois integrar termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o quadrado da expressão
. Lembre-se que
. Aplicando isso:
Simplificando cada termo:
Passo 3
Agora, substituímos essa expansão na integral original:
Podemos separar a integral em três partes:
Passo 4
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
- Integral de
:
A antiderivada de
é
.
- Integral de
:
A antiderivada de uma constante
é
.
- Integral de
:
Reescrevendo
como
, a antiderivada é
, ou seja,
.
Passo 5
Agora, colocamos tudo junto e avaliamos de
a
:
Vamos calcular cada parte:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Agora, somamos todos os resultados:
Primeiro, convertemos tudo para frações com o mesmo denominador:
Então:
Simplificando:
Resposta
O valor da integral é
.