Encontre a Série de Maclaurin de cada função dada a seguir:
f(x)=3^x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Série de Maclaurin para a função f(x) = 3^x+1 . A Série de Maclaurin é uma maneira de representar uma função como uma soma infinita de termos polinomiais. Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula da Série de Maclaurin e saber como aplicá-la a essa função exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Série de Maclaurin para uma função f(x) é dada por:
f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)2!x^2 + f'''(0)3!x^3 + dots
Isso significa que a gente precisa calcular as derivadas da função f(x) = 3^x+1 e avaliar todas em x = 0 .

Passo 3

Vamos simplificar a função primeiro. Note que:
f(x) = 3^x+1 = 3 cdot 3^x
Isso facilita ao calcular as derivadas, pois agora temos uma constante multiplicando 3^x .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de f(x) = 3 cdot 3^x :
f'(x) = 3 cdot ln(3) cdot 3^x
f''(x) = 3 cdot (ln(3))^2 cdot 3^x
f'''(x) = 3 cdot (ln(3))^3 cdot 3^x
vdots
Então, a enésima derivada será:
f^(n)(x) = 3 cdot (ln(3))^n cdot 3^x

Passo 5

Agora, vamos avaliar essas derivadas em x = 0 :
f(0) = 3 cdot 3^0 = 3
f'(0) = 3 cdot ln(3) cdot 3^0 = 3 ln(3)
f''(0) = 3 cdot (ln(3))^2 cdot 3^0 = 3 (ln(3))^2
f'''(0) = 3 cdot (ln(3))^3 cdot 3^0 = 3 (ln(3))^3
vdots

Passo 6

Substituindo esses valores na fórmula da Série de Maclaurin, temos:
f(x) = 3 + 3 ln(3) x + 3 (ln(3))^22! x^2 + 3 (ln(3))^33! x^3 + dots
Podemos fatorar o 3 para simplificar:
f(x) = 3 (1 + ln(3) x + (ln(3))^22! x^2 + (ln(3))^33! x^3 + dots )

Resposta

A Série de Maclaurin para f(x) = 3^x+1 é:
f(x) = 3 (1 + ln(3) x + (ln(3))^22! x^2 + (ln(3))^33! x^3 + dots )

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