Encontre a Série de Maclaurin de cada função dada a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Série de Maclaurin para a função
. A Série de Maclaurin é uma maneira de representar uma função como uma soma infinita de termos polinomiais. Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula da Série de Maclaurin e saber como aplicá-la a essa função exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Série de Maclaurin para uma função
é dada por:
Isso significa que a gente precisa calcular as derivadas da função
e avaliar todas em
.
Passo 3
Vamos simplificar a função primeiro. Note que:
Isso facilita ao calcular as derivadas, pois agora temos uma constante multiplicando
.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Então, a enésima derivada será:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essas derivadas em
:
Passo 6
Substituindo esses valores na fórmula da Série de Maclaurin, temos:
Podemos fatorar o 3 para simplificar:
Resposta
A Série de Maclaurin para
é: