Ache a solução geral da equação dada. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
3 y^prime prime+2 y^prime+y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes
3y''+2y'+y=0,
ou seja, uma EDO de segunda ordem em que vamos usar a equação característica para encontrar as raízes e montar a solução.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada, trocando y''to r^2, y'to r e yto1:
3r^2 + 2r + 1 = 0
Calculamos o discriminante:
De<a = 2^2 - 4cdot3cdot1 = 4 - 12 = -8 < 0,
logo as raízes são complexas conjugadas.

Passo 3

As raízes são
r = -2 pm raiz-82cdot3 = -2 pm 2iraiz26 = -13 pm i,raiz23
Chamando alpha = -tfrac13 e beta = tfracraiz23, a solução geral para raízes alphapm ibeta é
y(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x)+C2sin(beta x)r)

Passo 4

Substituindo alpha e beta, obtemos
y(x) = e^-x3l(C1cosraiz2,x3 ;+; C2sinraiz2,x3r)
Como os coeficientes são constantes, essa solução vale para todo xinR.

Resposta

y(x) = e^-x3l(C1cosraiz2,x3 + C2sinraiz2,x3r), xin(-infty,infty)

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