Ache a solução geral da equação dada. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
e também o maior intervalo em que essa solução está definida. Para isso, vamos usar o método da equação característica.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada trocando
por
,
por
e
por
. Isso dá
Passo 3
Calculamos o discriminante
da quadrática
Como
, teremos raízes complexas conjugadas.
Passo 4
As raízes são
Aqui
e
.
Passo 5
Para raízes
, a solução geral real é
Substituindo
e
, obtemos
Passo 6
Como os coeficientes da equação diferencial são funções contínuas (constantes) em todo
, a solução geral está definida em todo o eixo real.
Resposta
A solução geral é
definida para todo
.