Ache a solução geral da equação dada. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
2 y^prime prime-3 y^prime+4 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
2,y'' - 3,y' + 4,y = 0
e também o maior intervalo em que essa solução está definida. Para isso, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada trocando y por e^r x, y' por r e^r x e y'' por r^2 e^r x. Isso dá
2r^2 - 3r + 4 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante De<a da quadrática
De<a = (-3)^2 - 4cdot 2 cdot 4 = 9 - 32 = -23
Como De<a<0, teremos raízes complexas conjugadas.

Passo 4

As raízes são
r = 3 pm raiz-234 = 34 pm i,raiz234
Aqui alpha = tfrac34 e beta = tfracraiz234.

Passo 5

Para raízes r=alphapm ibeta, a solução geral real é
y(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x) + C2sin(beta x)r)
Substituindo alpha e beta, obtemos
y(x) = e^tfrac34xl(C1cosl(tfracraiz234xr) + C2sinl(tfracraiz234xr)r)

Passo 6

Como os coeficientes da equação diferencial são funções contínuas (constantes) em todo R, a solução geral está definida em todo o eixo real.

Resposta

A solução geral é
y(x) = e^tfrac34xl(C1cosl(tfracraiz234xr) + C2sinl(tfracraiz234xr)r),
definida para todo xin(-infty,infty).

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