Ache a solução do PVI dado.
y^prime prime+16 y=0
y(0)=2 y^prime(0)=-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
y'' + 16,y = 0, y(0)=2,;y'(0)=-2
É uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos então formular a equação característica.

Passo 2

A equação característica associada é
r^2 + 16 = 0,
cuja solução é
r = pm 4,i

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas 0pm4i, a solução geral da EDO é
y(t) = C1 cos(4t) + C2 sin(4t)

Passo 4

Usamos as condições iniciais para achar C1 e C2.
De y(0)=2 vem
y(0)=C1cos(0)+C2sin(0)=C1=2
A derivada é
y'(t)=-4C1sin(4t)+4C2cos(4t),
logo em t=0:
y'(0)=4C2=-2Longrightarrow C2=-tfrac12

Resposta

y(t) = 2cos(4t) - tfrac12sin(4t)

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