Seja f contínua em [-a, a]. Mostrar que:
Se f é ímpar, então integral-a^a f(x) d x=0

Passo 1

Vamos resolver o problema que pede para mostrar que, se uma função f é ímpar e contínua no intervalo [-a, a], então a integral de f(x) nesse intervalo é igual a zero. Para isso, vamos usar conceitos de funções ímpares e propriedades das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser ímpar. Uma função f é ímpar se, para todo x no domínio, f(-x) = -f(x) . Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação à origem.

Passo 3

Agora, vamos considerar a integral de f(x) de -a a a :
integral-a^a f(x) dx
Como f é ímpar, temos que f(-x) = -f(x) . Vamos fazer uma substituição na integral. Seja u = -x , então quando x = -a , u = a , e quando x = a , u = -a . A integral fica:
integrala^-a f(-u) (-du) = integral-a^a -f(u) du = -integral-a^a f(u) du
Portanto, temos:
integral-a^a f(x) dx = -integral-a^a f(x) dx
Somando integral-a^a f(x) dx dos dois lados:
2integral-a^a f(x) dx = 0
Dividindo ambos os lados por 2:
integral-a^a f(x) dx = 0

Resposta

integral-a^a f(x) dx = 0

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