Seja
contínua em
. Mostrar que:
Se
é ímpar, então
Se
Passo 1
Vamos resolver o problema que pede para mostrar que, se uma função
é ímpar e contínua no intervalo
, então a integral de
nesse intervalo é igual a zero. Para isso, vamos usar conceitos de funções ímpares e propriedades das integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser ímpar. Uma função
é ímpar se, para todo
no domínio,
. Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação à origem.
Passo 3
Agora, vamos considerar a integral de
de
a
:
Como
é ímpar, temos que
. Vamos fazer uma substituição na integral. Seja
, então quando
,
, e quando
,
. A integral fica:
Portanto, temos:
Somando
dos dois lados:
Dividindo ambos os lados por 2: