Utilize o sistema de coordenadas cilíndricas para calcular a integral tripla
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
sobre uma região em
. O conteúdo é mudança para coordenadas cilíndricas, onde vamos expressar a região, o integrando e o elemento de volume de forma mais adequada.
Passo 2
Identificamos a projeção da região no plano
. Como
varia de
a
e
de
a
, trata-se do semicírculo de raio
acima do eixo
. Em coordenadas cilíndricas isso equivale a
Além disso,
varia de
até a superfície
.
Passo 3
Fazemos a transformação
com Jacobiano
. O integrando
vira
. Logo o volume infinitesimal
torna-se
. A integral passa a ser
Passo 4
Integramos primeiro em
:
A integral reduz-se a
Passo 5
Agora integramos em
:
Sobrou a integral em
:
Passo 6
Multiplicando os resultados de
e
obtemos