Utilize o sistema de coordenadas cilíndricas para calcular a integral tripla
integral-5^5 integral0^raiz25-x^2 integral0^25-x^2-y^2 raizx^2+y^2 d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integralx=-5^5integraly=0^raiz25-x^2integralz=0^25-x^2-y^2raizx^2+y^2;dz,dy,dx
sobre uma região em xyz. O conteúdo é mudança para coordenadas cilíndricas, onde vamos expressar a região, o integrando e o elemento de volume de forma mais adequada.

Passo 2

Identificamos a projeção da região no plano xy. Como y varia de 0 a raiz25-x^2 e x de -5 a 5, trata-se do semicírculo de raio 5 acima do eixo x. Em coordenadas cilíndricas isso equivale a
0<= r<=5, 0<= theta<=pi
Além disso, z varia de 0 até a superfície z=25-r^2.

Passo 3

Fazemos a transformação
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z,
com Jacobiano r. O integrando raizx^2+y^2 vira r. Logo o volume infinitesimal dx,dy,dz torna-se r,dr,dtheta,dz. A integral passa a ser
integraltheta=0^pi!integralr=0^5!integralz=0^25-r^2 r;l(r,dz,dr,dthetar) =integral0^pi!integral0^5!integral0^25-r^2 r^2;dz,dr,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em z:
integralz=0^25-r^2 r^2;dz = r^2,l[,zr]0^25-r^2 = r^2,(25 - r^2)
A integral reduz-se a
integral0^pi!integral0^5 r^2(25 - r^2);dr,dtheta

Passo 5

Agora integramos em r:
integral0^5 l(25r^2 - r^4r);dr = 25integral0^5r^2dr ;-;integral0^5r^4dr = 25cdot5^33 ;-;5^55 = 31253 - 625 = 12503
Sobrou a integral em theta:
integral0^pi dtheta = pi

Passo 6

Multiplicando os resultados de r e theta obtemos
12503times pi =1250pi3

Resposta

1250pi3

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