Ache uma solução geral para a equação diferencial dada: 2 y^prime prime+7 y^prime-4 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
2y'' + 7y' - 4y = 0
Para resolver, vamos usar o método da equação característica, assumindo uma solução do tipo y=e^r x.

Passo 2

Substituindo y=e^r x na equação, temos
y' = r e^r x, y'' = r^2 e^r x,
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2r^2 e^r x + 7r e^r x -4 e^r x = 0
Como e^r xneq0, obtém-se a equação característica:
2r^2 +7r -4 = 0

Passo 3

Para resolver
2r^2 +7r -4 = 0,
usamos a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
De<a = 7^2 -4cdot2cdot(-4) = 49 +32 = 81

Passo 4

As raízes são
r = -7 pm raiz812cdot2 = -7 pm 94
Portanto,
r1 = -7 +94 = tfrac12, r2 = -7 -94 = -4

Passo 5

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x = C1 e^tfrac12 x + C2 e^-4x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 e^tfrac12 x + C2 e^-4x

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