Nos exercícios abaixo, encontre os valores de x>0 para os quais a série converge:
(3) 1+x^22+x^44+ldots=1+sumk=1^infty x^2 k2 k

Passo 1

Neste exercício temos a série
1 + sumk=1^infty x^2k2k
e queremos descobrir para quais valores de x>0 essa série converge. O conteúdo principal aqui é teste de razão para séries de potências.

Passo 2

O teste de razão diz que, para uma série sum ak, se
L = limktoinfty |ak+1ak|
existe e L<1, então a série converge absolutamente.

Passo 3

Identificamos o termo geral
ak = x^2k2k
Logo,
ak+1 = x^2(k+1)2(k+1)
e
ak+1ak = x^2(k+1)2(k+1) cdot 2kx^2k = x^2 cdot kk+1

Passo 4

Tomando o limite quando ktoinfty:
L = limktoinfty x^2 kk+1 = x^2 cdot 1 = x^2
Para convergência, requeremos L<1, isto é x^2<1, ou seja 0.

Passo 5

Ainda precisamos checar o caso limite x=1. Para x=1 a série vira
1 + sumk=1^infty 12k = 1 + 12 + 12 cdot 12 + dots
que é proporcional à série harmônica (diverge). Logo, não converge em x=1. Portanto, dentro de x>0, a série converge apenas para 0.

Resposta

0 < x < 1

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