Ache uma solução geral para a equação diferencial dada: 6 y^prime prime+y^prime-2 y=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem e coeficientes constantes
6,y'' + y' - 2,y = 0
O conteúdo envolvido é a resolução de equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, usando a técnica de solução exponencial.

Passo 2

Para esse tipo de equação, a gente supõe uma solução da forma
y(x) = e^r x,
porque derivadas de exponenciais voltam a ser exponenciais, o que transforma a EDO numa equação algébrica em r.

Passo 3

Substituindo y = e^r x na equação original, temos
y' = r,e^r x, y'' = r^2 e^r x,
logo
6,r^2 e^r x + r,e^r x - 2,e^r x = 0
Como e^r xneq0, podemos dividir por e^r x e obter a equação característica.

Passo 4

A equação característica fica
6r^2 + r - 2 = 0
Calculando o discriminante:
De<a = 1^2 - 4cdot6cdot(-2) = 1 + 48 = 49
Assim
r = -1 pm raiz492cdot6 = -1 pm 712,
portanto
r1 = -1 + 712 = 12, r2 = -1 - 712 = -23

Passo 5

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x = C1 e^x2 + C2 e^-2x3,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

y(x) = C1 e^x2 + C2 e^-2x3

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