Ache uma solução geral para a equação diferencial dada: z^prime prime+z^prime-z=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem, linear e homogênea com coeficientes constantes
z'' + z' - z = 0
Para resolver, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Associamos à equação diferencial a equação característica obtida trocando zmapsto e^rx, o que gera
r^2 + r - 1 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática ,r^2 + r -1=0 pelo fórmula de Bhaskara, temos o discriminante
De<a = 1^2 - 4cdot1cdot(-1) = 1 + 4 = 5,
logo as raízes são
r1,2 = -1 pm raiz52

Passo 4

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é
z(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x,
onde
r1 = -1 + raiz52, r2 = -1 - raiz52,
e C1,C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

z(x) = C1 exp!l(tfrac-1 + raiz52,xr) + C2 exp!l(tfrac-1 - raiz52,xr)

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