Ache uma solução geral para a equação diferencial dada: y^prime prime-y^prime-11 y=0

Passo 1

O enunciado pede encontrar a solução geral da EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
y'' - y' - 11,y = 0
O conteúdo é “equações diferenciais lineares de coeficientes constantes” e o método é formar e resolver a equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução da forma y=e^r x. Substituindo em
y'' - y' - 11,y = 0
temos
r^2 e^r x - r e^r x - 11 e^r x = 0 ;Longrightarrow; (r^2 - r - 11),e^r x = 0
Como e^r xneq0, sobra a equação característica
r^2 - r - 11 = 0

Passo 3

Resolvendo
r^2 - r - 11 = 0
pela fórmula de Bhaskara:
r = 1 pm raiz1 + 442 = 1 pm raiz452 = 1 pm 3raiz52
Logo
r1 = 1 + 3raiz52, r2 = 1 - 3raiz52

Passo 4

Como as raízes r1 e r2 são distintas, a solução geral é
y(x) = C1,e^r1 x + C2,e^r2 x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 exp!l(1 + 3raiz52xr) ;+; C2 exp!l(1 - 3raiz52xr)

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