Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
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Passo 1
O enunciado nos dá a série de potência
O conteúdo da matéria envolve séries de potência e reconhecimento de séries geométricas (ou uso do teste da razão) para achar o intervalo de convergência.
Passo 2
Vamos manipular a soma para ver a parte geométrica. Note que
Isso mostra que dentro do somatório temos uma série geométrica de razão .
Passo 3
Para que a série geométrica convirja, precisamos de . Logo,
Isso define a parte interior do intervalo de convergência.
Passo 4
Agora verifica-se os extremos x=pmraizpi:
Para x=raizpi cada termo é (raizpi)^2k+1pi^k =pi^k+tfrac12/pi^k=raizpi,
que não tende a zero, logo diverge.
Para x=-raizpi cada termo é (-raizpi)^2k+1pi^k =(-1)^2k+1raizpi=-raizpi,
também não tende a zero, logo diverge.