Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
27) sumk=0^infty x^2 k+1pi^k

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potência
sumk=0^inftyx^2k+1pi^k
O conteúdo da matéria envolve séries de potência e reconhecimento de séries geométricas (ou uso do teste da razão) para achar o intervalo de convergência.

Passo 2

Vamos manipular a soma para ver a parte geométrica. Note que
sumk=0^inftyx^2k+1pi^k = xsumk=0^infty(x^2pi)^k
Isso mostra que dentro do somatório temos uma série geométrica de razão
r=x^2pi.

Passo 3

Para que a série geométrica convirja, precisamos de lvert rrvert<1. Logo,
|x^2pi|<1 Longrightarrow x^2<pi Longrightarrow |x|<raizpi
Isso define a parte interior do intervalo de convergência.

Passo 4

Agora verifica-se os extremos x=pmraizpi:
  • Para x=raizpi cada termo é
    (raizpi)^2k+1pi^k =pi^k+tfrac12/pi^k=raizpi,
    que não tende a zero, logo diverge.
  • Para x=-raizpi cada termo é
    (-raizpi)^2k+1pi^k =(-1)^2k+1raizpi=-raizpi,
    também não tende a zero, logo diverge.

Resposta

O intervalo de convergência é
l(-raizpi,,raizpir)

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