Ache uma solução geral para a equação diferencial dada: 4 w^prime prime+20 w^prime+25 w=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
4,w'' + 20,w' + 25,w = 0
e pede a solução geral. Para resolver, vamos usar o método da equação característica, que transforma a EDO em uma equação algébrica em r.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo w(x)=e^r x. Substituindo na EDO, obtemos a equação característica
4r^2 + 20r + 25 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante De<a dessa quadrática:
De<a = 20^2 - 4cdot 4 cdot 25 = 400 - 400 = 0
Como De<a=0, a raiz é dupla e vale
r = -202cdot4 = -52

Passo 4

Para uma raiz dupla r=-tfrac52, a forma da solução geral é
w(x) = l(C1 + C2,xr),e^-52x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

w(x) = l(C1 + C2 xr),e^-52x

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