Ache uma solução geral para a equação diferencial dada: 4 y^prime prime+4 y^prime+6 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
4y'' + 4y' + 6y = 0
O conteúdo envolvido é o método da equação característica, em que assumimos uma solução do tipo y=e^rx e determinamos os valores de r.

Passo 2

Assumindo y=e^rx, temos
y' = r e^rx, y'' = r^2 e^rx,
logo a equação diferencial vira a equação característica
4r^2 + 4r + 6 = 0

Passo 3

Aplicando a fórmula de Bhaskara à equação
4r^2 + 4r + 6 = 0
temos
r = -4 pm raiz4^2 - 4cdot4cdot62cdot4 = -4 pm raiz16 - 968 = -4 pm raiz-808 = -4 pm 4iraiz58
Portanto
r = -tfrac12 pm itfracraiz52

Passo 4

Para raízes complexas r = alpha pm ibeta, a forma geral da solução real é
y(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x) + C2sin(beta x)r)
Aqui alpha = -tfrac12 e beta = tfracraiz52, então substituindo:

Resposta

y(x) = e^-x2l(C1cos!l(tfracraiz52xr) + C2sin!l(tfracraiz52xr)r),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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