Seja
uma função dada por
Determine:
c) (5 pontos) Os intervalos onde
é crescente e onde
é decrescente.
c) (5 pontos) Os intervalos onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir em quais intervalos a função
está crescendo e decrescendo. Isso faz parte do estudo de monotonicidade de funções em Cálculo. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde essa derivada é positiva (indicando que a função está crescendo) ou negativa (indicando que a função está decrescendo).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, se ela está subindo ou descendo em cada ponto.
A função é uma fração, então vamos usar a regra do quociente para derivar:
Vamos calcular as derivadas no numerador:
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão. Primeiro, podemos fatorar um
no numerador:
Vamos expandir e simplificar o numerador:
Somando esses termos:
Portanto, a derivada simplificada fica:
Passo 4
Agora que temos a expressão da derivada, vamos descobrir onde ela é positiva ou negativa. Primeiro, identificamos os pontos onde a derivada pode mudar de sinal, ou seja, onde
ou onde a derivada não existe.
- Quando a derivada não existe: Isso acontece quando o denominador é zero:
- Quando a derivada é zero:
Com esses valores, dividimos a reta real em três intervalos para analisar o sinal da derivada:
Passo 5
Vamos testar um número em cada intervalo para ver se a derivada é positiva ou negativa.
- Para
, por exemplo, :
Então,
é crescente nesse intervalo.
- Para
, por exemplo, :
Então,
é decrescente nesse intervalo.
- Para
, por exemplo, :
Então,
é crescente nesse intervalo.
Resposta
A função
é crescente nos intervalos
e
, e decrescente no intervalo
.