Seja f uma função dada por
f(x)=1-x^2(x-2)^2
Determine:
c) (5 pontos) Os intervalos onde f é crescente e onde f é decrescente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir em quais intervalos a função f(x) = 1 - x^2(x - 2)^2 está crescendo e decrescendo. Isso faz parte do estudo de monotonicidade de funções em Cálculo. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde essa derivada é positiva (indicando que a função está crescendo) ou negativa (indicando que a função está decrescendo).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f(x) . A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, se ela está subindo ou descendo em cada ponto.
A função é uma fração, então vamos usar a regra do quociente para derivar:
f'(x) = (d/dx)(1 - x^2) cdot (x - 2)^2 - (1 - x^2) cdot (d/dx)(x - 2)^2(x - 2)^4
Vamos calcular as derivadas no numerador:
(d/dx)(1 - x^2) = -2x
(d/dx)(x - 2)^2 = 2(x - 2)
Substituindo de volta na expressão da derivada:
f'(x) = (-2x)(x - 2)^2 - (1 - x^2) cdot 2(x - 2)(x - 2)^4

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão. Primeiro, podemos fatorar um (x - 2) no numerador:
f'(x) = (x - 2) [ -2x(x - 2) - 2(1 - x^2) ](x - 2)^4 = -2x(x - 2) - 2(1 - x^2)(x - 2)^3
Vamos expandir e simplificar o numerador:
-2x(x - 2) = -2x^2 + 4x
-2(1 - x^2) = -2 + 2x^2
Somando esses termos:
-2x^2 + 4x - 2 + 2x^2 = 4x - 2
Portanto, a derivada simplificada fica:
f'(x) = 4x - 2(x - 2)^3

Passo 4

Agora que temos a expressão da derivada, vamos descobrir onde ela é positiva ou negativa. Primeiro, identificamos os pontos onde a derivada pode mudar de sinal, ou seja, onde f'(x) = 0 ou onde a derivada não existe.
  1. Quando a derivada não existe: Isso acontece quando o denominador é zero:
(x - 2)^3 = 0 implies x = 2
  1. Quando a derivada é zero:
4x - 2 = 0 implies x = 12
Com esses valores, dividimos a reta real em três intervalos para analisar o sinal da derivada:
  1. x < 12
  2. 12 < x < 2
  3. x > 2

Passo 5

Vamos testar um número em cada intervalo para ver se a derivada é positiva ou negativa.
  1. Para x < 12 , por exemplo, x = 0 :
f'(0) = 4(0) - 2(0 - 2)^3 = -2-8 = 14 > 0
Então, f é crescente nesse intervalo.
  1. Para 12 < x < 2 , por exemplo, x = 1 :
f'(1) = 4(1) - 2(1 - 2)^3 = 2-1 = -2 < 0
Então, f é decrescente nesse intervalo.
  1. Para x > 2 , por exemplo, x = 3 :
f'(3) = 4(3) - 2(3 - 2)^3 = 101 = 10 > 0
Então, f é crescente nesse intervalo.

Resposta

A função f é crescente nos intervalos (-infty, 12) e (2, +infty) , e decrescente no intervalo (12, 2) .

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