Seja f uma função dada por
f(x)=1-x^2(x-2)^2
Determine:
d) (5 pontos) Os pontos críticos de f, caso existam.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os pontos críticos da função
f(x)=1-x^2(x-2)^2,
ou seja, os valores de x no domínio de f em que f'(x)=0 ou em que f' não existe. Para isso, precisaremos (1) identificar o domínio de f, (2) calcular f'(x) usando a regra do quociente e (3) resolver as condições de ponto crítico.

Passo 2

Primeiro, identificamos o domínio de f. Como o denominador (x-2)^2 não pode ser zero, temos
xneq 2
Portanto o domínio é Rsetminus2. Lembrando que ponto crítico é ponto do domínio onde f'(x)=0 ou onde f' não está definido (mas que pertence ao domínio).

Passo 3

Vamos calcular f'(x). Definimos
u(x)=1-x^2, u'(x)=-2x,
v(x)=(x-2)^2, v'(x)=2(x-2)
Pela regra do quociente,
f'(x) = u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 = -2x(x-2)^2 - (1-x^2)cdot 2(x-2)(x-2)^4

Passo 4

Agora simplificamos o numerador:
-2x(x-2)^2 - 2(x-2)(1-x^2) = -2(x-2)l[x(x-2)+(1-x^2)r] = -2(x-2)(-2x+1) =2(x-2)(2x-1)
Logo
f'(x) = 2(x-2)(2x-1)(x-2)^4 = 2(2x-1)(x-2)^3

Passo 5

Para achar os pontos críticos, analisamos onde f'(x)=0 e onde f' não existe:
  1. f'(x)=0 se, e somente se, 2(2x-1)=0, ou seja, 2x-1=0implies x=tfrac12 Como x=tfrac12neq2, esse valor pertence ao domínio.
  2. f'(x) não existe quando x=2, mas esse ponto não está no domínio de f, logo não é considerado.
Portanto, o único ponto crítico é x=tfrac12. Podemos também calcular
fl(tfrac12r) =1-(tfrac12)^2(tfrac12-2)^2 =1-tfrac14(-tfrac32)^2 =tfrac34tfrac94 =tfrac13

Resposta

O único ponto crítico é
l(tfrac12,;tfrac13r)

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