Seja f uma função dada por
f(x)=1-x^2(x-2)^2
Determine:
b) (5 pontos) Verifique que f^prime(x)=4 x-2(x-2)^3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=1-x^2(x-2)^2
usando o quociente de funções, cuja regra é
gl(uvgr)^prime =u'v - uv'v^2

Passo 2

Definimos
u(x)=1-x^2, v(x)=(x-2)^2
As derivadas são
u'(x)=l(1-x^2r)' = -2x, v'(x)=l((x-2)^2r)' = 2(x-2)cdot1 = 2(x-2)

Passo 3

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) =u'(x),v(x) - u(x),v'(x)l(v(x)r)^2 =l(-2xr),(x-2)^2 ;-;(1-x^2),2(x-2)(x-2)^4

Passo 4

No numerador, fatoramos (x-2):
-2x,(x-2)^2 -2(1-x^2)(x-2) =(x-2)l[-2x(x-2) -2(1-x^2)r]
Expandindo dentro dos colchetes:
-2x(x-2)= -2x^2+4x, -2(1-x^2) = -2 + 2x^2,
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-2x^2+4x ;-;2+2x^2 = 4x-2
Assim o numerador vira (x-2)(4x-2).

Passo 5

Substituindo de volta em f'(x) e cancelando uma potência de (x-2):
f'(x) =(x-2)(4x-2)(x-2)^4 =4x-2(x-2)^3

Resposta

f'(x)=4x-2(x-2)^3

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