Encontre uma solução geral para a equação dada: u^prime prime+7 u=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
u'' + 7,u = 0
Este é um problema de equações diferenciais ordinárias lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Procuramos soluções da forma u(x)=e^r x. Substituindo na EDO, obtemos a equação característica
r^2 + 7 = 0
Resolvendo, vem
r = pm iraiz7

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas, r1,2 = pm iraiz7, a solução geral complexa é
u(x) = C1,e^iraiz7,x + C2,e^-,iraiz7,x
Para obter uma solução real, usamos a fórmula de Euler e^itheta=costheta + isintheta.

Passo 4

Aplicando Euler e agrupando termos reais, chegamos à forma real da solução geral:
u(x) = Acosl(raiz7,xr) + Bsinl(raiz7,xr),
onde A e B são constantes arbitrárias.

Resposta

u(x) = Acosl(raiz7,xr) + Bsinl(raiz7,xr)

Exercícios relacionados