Ache uma solução geral para a equação diferencial dada: y^prime prime-4 y^prime+7 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 4y' + 7y = 0
O conteúdo aqui é resolver pelo método da equação característica.

Passo 2

Para aplicar o método, introduzimos y = e^rx. Isso transforma a EDO na equação algébrica
r^2 - 4r + 7 = 0,
que chamamos de equação característica.

Passo 3

Calculamos o discriminante dessa equação:
De<a = (-4)^2 - 4cdot1cdot7 = 16 - 28 = -12.
Como De<a<0, as raízes são complexas conjugadas:
r = 4 pm iraiz122 = 2 pm iraiz3

Passo 4

Quando as raízes são r = a pm ib, a solução geral da EDO é
y(x) = e^axl(C1cos(bx) + C2sin(bx)r)
Aqui a = 2 e b = raiz3. Substituindo, obtemos
y(x) = e^2xl(C1cos(raiz3,x) + C2sin(raiz3,x)r),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = e^2xl(C1cos(raiz3,x) + C2sin(raiz3,x)r),
com C1, C2 constantes.

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