Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial r(t)=<2 cos t, t, 2 sen t>. Indique pelo menos 4 pontos da curva para alguns valores de t e indique com setas a direção na qual o parâmentro t cresce.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva em R^3 definida pela equação vetorial
r(t)=lang<= 2cos t,;t,;2sin trang<=,
e pede o esboço do gráfico, indicando pelo menos quatro pontos para valores de t e a direção em que t cresce. O conteúdo é o de curvas paramétricas em três dimensões, mais precisamente uma hélice circular de raio 2 em torno do eixo y.

Passo 2

Observe a projeção desta curva no plano xz. Desprezando a componente y=t, temos
(x,z)=(2cos t,;2sin t),
que é a circunferência de raio 2 centrada na origem do plano xz. Enquanto isso, a componente y cresce linearmente com t, o que “estica” essa circunferência numa hélice ao longo do eixo y.

Passo 3

Vamos escolher alguns valores de t para obter pontos marcantes:
t&=0: &r(0)&=lang<=2cos0,;0,;2sin0rang<==lang<=2,,0,,0rang<=, t&=tfracpi2: &rl(tfracpi2r)&=llang<=2costfracpi2,;tfracpi2,;2sintfracpi2rrang<==lang<=0,,tfracpi2,,2rang<=, t&=pi: &r(pi)&=lang<=2cospi,;pi,;2sinpirang<==lang<=-2,,pi,,0rang<=, t&=tfrac3pi2: &rl(tfrac3pi2r)&=llang<=2costfrac3pi2,;tfrac3pi2,;2sintfrac3pi2rrang<==lang<=0,,tfrac3pi2,,-2rang<=

Passo 4

Para esboçar:
  1. Trace o eixo y verticalmente.
  2. Em vários níveis y=t, desenhe círculos de raio 2 no plano xz.
  3. Una esses círculos, formando uma mola (hélice) que sobe conforme t aumenta.
  4. Coloque setas ao longo da curva indicando o sentido de t crescente (de baixo para cima, percorrendo os círculos no sentido anti-horário visto do eixo y positivo).

Resposta

Pontos marcados no esboço:
,(2,0,0),;(0,tfracpi2,2),;(-2,pi,0),;(0,tfrac3pi2,-2).
A curva é uma hélice de raio 2 em torno do eixo y, subindo à medida que t cresce, com sentido anti-horário no plano xz.

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