Seja r(t)=(2 t-1, t e^2 t, t)
Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva espacial dada pela função vetorial r(t) no ponto no valor em que t=0.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva espacial definida por vec r(t) no ponto correspondente a t=0. O conteúdo aqui é derivada de função vetorial para obter o vetor tangente e depois usar a forma paramétrica da reta:
reta: vec R(u)=vec r(0)+u,vec r,'(0)

Passo 2

Calculamos o ponto vec r(0) da curva em t=0:
vec r(0) = l(2cdot 0 - 1,;0cdot e^2cdot 0,;0r) = (-1,0,0)

Passo 3

Agora obtemos o vetor tangente vec r,'(t) derivando componente a componente:
vec r,'(t) = l(2,;ddt(t e^2t),;1r) = l(2,;e^2t+2t,e^2t,;1r)
Em t=0 isso vale
vec r,'(0) = l(2,;e^0+2cdot 0,e^0,;1r) = (2,1,1)

Passo 4

A reta tangente, usando parâmetro u, é
vec R(u) = (-1,0,0) + u,(2,1,1)
Isso gera as equações paramétricas
x(u) = -1 + 2u, y(u) = 0 + u = u, z(u) = 0 + u = u

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente são:
x = -1 + 2u, y = u, z = u

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